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By Jürgen Neukirch

Algebraische Zahlentheorie: eine der traditionsreichsten und aktuellsten Grunddisziplinen der Mathematik. Das vorliegende Buch schildert ausführlich Grundlagen und Höhepunkte. Konkret, glossy und in vielen Teilen neu. Neu: Theorie der Ordnungen. Plus: die geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis hin zum "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt.

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17)). 41 § 7. Der Dirichlet sehe Einheitensatz Aufgabe 5. Zeige, daß der Diskriminantenbetrag ldK I mit dem Körpergrad n gegen oo geht. Aufgabe 6. Sei a ein ganzes Ideal vonKund am = (a). h. aoL = (a). Aufgabe 7. Zeige, daß es zu jedem ZahlkörperKeine endliche Erweiterung L gibt, in der jedes Ideal von K ein Hauptideal wird. § 7. Der Dirichlet sehe Einheitensatz Nach der Idealklassengruppe ClK wenden wir uns nun der zweiten Hauptaufgabe zu, die uns der Ring o K der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers K stellt, der Einheitengruppe o:K.

2} Satz. Ist a i- 0 ein Ideal von OK, so ist r =ja ein vollständiges Gitter in K 1R mit dem Grundmaschenvolu men Beweis: Sei a1, ... , an eine Z-Basis von a, so daß r = Zja 1 + · · · + Z j an. Wir numerieren die Einbettungen T : K ~ ~ , r 1, ... 12) d(a) = d(a1, ... Ät. l=1 Es ergibt sich hieraus in der Tat vol(T) = Idet( (jai,jak) )1 1/ 2 =I det Al= Jjd;i(oK : a). D Mit diesem Resultat liefert nun der Minkowskische Gitterpunktsatz das folgende Ergebnis, auf das es uns für die Anwendung auf die Zahlentheorie vornehmlich ankommen wird.

I Hinsichtlich dieser Multiplikation erhalten wir für die Ideale von o, was uns von den Elementen allein versagt wird, nämlich die eindeutige Primzerlegung. 3) Theorem. Jedes von (0) und (1) verschiedene Ideal a von o besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung in Primideale pi von o. Kapitel I. Ganze algebraische Zahlen 20 Dieses Theorem liegt natürlich ganz im Sinne des Erfinders der "idealen Zahlen". Seine Gültigkeit ist aber dennoch erstaunlich, weil sein Beweis alles andere als offenkundig ist und eine tieferliegende Gesetzmäßigkeit zwischen den Zahlen in o aufdeckt.

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